Legame tra phi e pi greco e la loro presenza in natura

Esiste un ristretto gruppo di numeri che sono “speciali”.
Questi numeri sono gli “irrazionali”, cioè numeri che non possono esser scritti ne come interi, ne come frazione e i più famosi di questa categoria troviamo il Pi greco e il phi.
Questi numeri si trovano in tutto ciò che ci circonda, ora analizziamo un po' questi numeri poi li andremo a cercare intorno a noi.

Qui di seguito vengono mostrate vari possibili legami tra la costante (pi greco) e la sezione aurea (phi).

Equazione quadratica e la sezione aurea
La sezione aurea è una delle possibili soluzioni della equazione quadratica
Legame tra la costante pi greco e la sezione aurea
Esistono molte legami tra pi greco e la sezione aurea.
Troviamo una relazione che lega, attraverso una
meravigliosa frazione continua, due numeri fondamentali: phi, la
sezione aurea ed il famoso pi greco:

Possiamo dunque osservare che il legame tra l irrazionale phi ed il trascendente pi greco, passa
attraverso una estensione infinita!
Lo sviluppo binomiale
A partire dallo sviluppo binomiale, per -1
possiamo determinare lo sviluppo della funzione arcsinx per -1

Per x = 1/2 e con arcsin(1/2) = /6, si ha:



da cui:



Posto n = 30, si ottiene il seguente valore approssimato di :


Il valore di con 19 cifre decimali esatte è dunque: 3,1415926535897932384
Per un cerchio di raggio 1 vale la seguente relazione:


mentre la sua circonferenza è:



Phi e pi greco in trigonometria



per cui:



Da cui:






Passeggiando ne magnifico giardino dell'Abbazia possiamo osservare le maestosità che l'Altissimo ci ha voluto regalara con la sua grandissima magnianimità. La bellezza è lo splendore della verità: siccome l'arte è bellezza, senza verità non c'è arte. Per trovare la verità bisogna conoscere bene gli esseri del creato». Qui ci immergiamo nel colore e nella forma; siamo accecati da entrambi in tutte le loro manifestazioni, fisiche, analogiche, simboliche. Spirito inquieto, inappagato, sempre più chiuso, in ultima analisi "disadattato", in realtà pauroso di vivere se non sorretto da sovrastrutture di compensazione, ci si immerge nel colore e nella forma, che ci abbagliano quasi fossimo un bambino. E saranno il colore e la forma la ricerca continua di dinamismo, il rifugiarsi in una religiosità voluta e acquisita. Nella perfezione del cretao possiamo notare il legame tra il phi e il pi.



Ed è proprio guardando la natura che troviamo in nostri numeri nelle loro forme meravigliose e perfette.


Infatti se noi esaminiamo il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r scoriamo che è la sezione aurea del raggio.
Possiamo chiamare phi <>: << Si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la proporzione estrema e media quando l'intera linea sta alla parte maggiore così come la maggiore stà alla minore>>.
La sezione aurea si costruisce dividendo un segmento AB dal punto M in modo tale che il rapporto
tra le due parti, la più piccola con la più grande (AM e MB) sia uguale al rapporto della parte più
grande (MB) con tutto AB.



Se AB è di lunghezza 1, e chiamiamo x la lunghezza del segmento AB, allora la definizione sopra
fornita dà luogo alla seguente equazione:


che ha due soluzioni per x, (-1-V^ 5)/2 e (V^5-1)/2. La prima è negativa, per cui non soddisfa le
condizioni del problema. La seconda rappresenta proprio il rapporto di sezione aurea ed è un numero irrazionale corrispondente a circa 0,618.
Il reciproco di x (1/x) viene indicato con (phi) e corrisponde a 1+x, cioè circa 1,618. Molto spesso questo rapporto viene indicato come rapporto aureo e viene utilizzato nella costruzione del rettangolo aureo.

Legata alla scoperta del Phi, si collega anche la scoperta dell'incommensurabilità, cioè quando due grandezze omogenee si dicono incommensurabili quando non ammettono una grandezza sottomultipla comune.

Quindi la costruzione della sezione aurea del segmento AB, dove il punto di massimo P coincide con il punto M della costruzione precedente.
Nella costruzione della sezione aurea abbiamo visto l equazione in gioco, dove una delle soluzioni è l'inverso della sezione aurea e vale 0,618...
Nel caso della sezione aurea deve essere:
1 1/phi > 0,2
Difatti è almeno 0,382

La spirale e la sezione aurea


phi puo essere indicato come:

Costrizione geometrica:
tracciare, perpendicolarmente al segmento AB, per l'estremo B un
segmento BC di lunghezza pari ad AB/2

Unire l'estremo A con C

puntare in C e con apertura CB determinare il punto D sul segmento AC

puntare in A e con apertura AD ribaltare il punto D sul segmento AB. Il
punto P è la sezione aurea del segmento AB




La costruzione della sezione aure suggerisce la possibilità di realizzare un processo di crescita in cui si conservano costantemente i rapporti, cioè la crescita dà luogo ad organismi che rimangono sempre simili a se stessi.
In geometria il pentagono e il decagono sono i poligoni regolari che meglio esprimono la sezione aurea , mentre la piramide di Cheope contiene sia (phi) che (V^phi) come mostrano queste figure:


E ancora:






Il Phi,suscita un fascino quasi mistico e che non tocca solo campi matematici, ma anche artistici, scentifici (botanica, astronomia, ecc..), religiosi, …
In geometria col termine “aureo” possiamo indicare elementi alla base della costruzione del mondo (cerchio, triangolo, quadrato) o loro discendenti.
Questi elementi geometrici sono uttilizzati dall'uomo e dalla natura come base di qualsiasi costruzione.
Infatti, se per esempio si dovesse tagliare una mela da parte a parte, si noterebbe che i semi hanno una disposizione pentacolate, come i petali di un fiore ho hanno una distribuzione a triangolare o pentacolare (a seconda dei numeri dei petali).



triangolo isoscele (36°, 72°, 72°)
Se dentro a questo triangolo isoscele ne costruissimo un'altro con gli stessi angoli, possiamo notare che la proporzione di AC:BC=BD:DC (il primo triangolo) è phi, ed anche la proporzione di AC:AD=AD:DC (il 2° triangolo) è Phi



triangolo isoscele (108°,36°, 36°)
Il Phi si riscontra anche in BC:CE = BE:BC



Il pentagono stellato è sicuramente la figura geometrica che più di ogni altra rappresenta, all'infinito, la sezione aurea.
Il Phi risulta connessa con la geometria del pentagono: in particolare il rapporto aureo è pari al rapporto fra il lato BC e la sua diagonale AB, ma anche tra AB e BD, ed in un'infinità di relazioni simili, se immaginiamo che nel pentagono centrale possiamo iscrivere una nuova stella a cinque punte, la quale produrrà a sua volta un nuovo pentagono centrale, in cui ripetere l'iscrizione del pentagramma e così via, seguendo uno schema infinito.



Il rettangolo aureo ha come caratteristica unica, che il lato maggiore e quello minore sono in rapporto in phi, ma come il pentagramma, anche questo si può ripetere all'infinito.
Un'altra caratteristica, è che se tracciamo delle diagonali in ciascuna coppia di triangoli “genitore” e “figlio”, si riscontra che tutte passano per il medesimo punto,che possiamo chiamare <>.



La spirale logaritmica e il rapporto aurico è assai stretto, se si tiene conto che per costruirla si parte dal rettangolo aureo.
La particolarita di questa spirale e che è anche "equiangola", cioè se tiriamo una diagonale che taglia la spirale da parte a parte a parte e che passa per "l'occhio di Dio", si può notare che gli angoli costruiti sono uguali su tutte le curve della spirale.



Passeggiando nel giardino della mia residenza vescovile dove si posa lo sguardo lì si trova il messaggio della perfezione divina, lì troviamo la nostra spirale: nei fiori, negli animali e persino in alcuni ortaggi, che nella loro semplicita contengono la scintilla divina.









Guardando il cielo nelle notti terse non ad uno sguardo attento non può sfuggire la perfezione degli astri del cielo posizionati dall'Altissimo